teorema de ángulos, congruencia/semejanza de triángulos, y teorema de tales y pitágoras

en este blog aprenderás cosas como:

*teoremas de pares de ángulos 

*teoremas de rectas paralelas y una secante

*relación entre los ángulos interiores y exteriores de un triángulo 

*teoremas de congruencia de triángulos

*teoremas de semejanza de triángulos 

*teoremas de tales de mileto

1.1TEOREMAS DE PARES DE ÁNGULOS

existen unas cuantas variedades de pares de ángulos en las cuales hay diversas relaciones desde la igualdad hasta otras propiedades de acuerdo al resultado de su suma.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

 dos ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es igual a 90º, estos no tienen que ser congruentes entre si tan solo basta con que se cumpla la función de que la suma de sus medidas sean 90º

aquí "x" debe ser igual a 56,
ya que 34+56=90

  ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:

Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º, estos no tienen que ser congruentes simplemente con que sumen 180º basta.

                                                         

aquí por ejemplo 60+120=180º
entonces estos ángulos son suplementarios 

ÁNGULOS ADYACENTES:

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice: 

                                                         

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro 

la linea roja y la azul se interceptan y producen
ángulos apuestos por el vértice 

1.2: TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE:

Teorema directo 

En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Teorema inverso

 En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.

1.3 RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIANGULO

Un ángulo interior de un triángulo lo forman dos lados.

Sus propiedades son:

 1.-La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C = 180º

 2.-El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = B + C

 3.-Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

α = 180º - A

1.4TEOREMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:

 Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Lado c con c´
Angulo a con a´
Lado b con b´

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Angulo b
Lado a
Angulo c 

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

lado
lado
lado 

1.5 TEOREMA DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:

• Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes                                                           


• Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.                                                                                                                  
• Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

  Semejanzas de triángulos rectángulos

  Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:
• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.



angulo beta con beta prima
cateto a proporcinal a a´
hipotenusa b proporcional a hipotenusa b´




• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

1.6 TEOREMA DE TALES 

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otrotriángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

     

en la vida cotidiana pareciera que nunca utilizariamos el teorema de tales sin embargo si lo hacemos 

EJEMPLO
Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra.

Escribimos la proporción:

6  = 270

5       h       

(Siendo h la altura del edificio)

Y resolvemos la proporción:

6x = 270 * 5

 x = 1350

           6

x = 225

1.7 TEOREMA DE PITÁGORAS:

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
VEAMOS UNA APLICACION DE ESTE TEOREMA
La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m.  se sabe que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho reglamentario de una mesa de ping-pong.
 los datos:



                       un cateto= 2,74 m
                    hipotenusa= 3,14 m
                    otro cateto= ancho de la mesa, que es nuestra incógnita.

 Si aplicamos el teorema y reemplazamos por los datos será:
   

                                  a² =  b²  +  c²
                              3,14² =  2,74² + x²  →reemplazo y queda una ecuación     
                                9,86 = 7,51 + x²   →elevo al cuadrado
                    9,86 – 7,51 = x²  → despejo  x
                                 2,35  = x²
                             √2,35  = x
                                 1,53 = x            Rta: el ancho debe ser de 1,53 m