razones,funciones e identidades trigonometricas

razones,funciones e identidades trigonométricas, ángulos de elevación y depresión

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. 

Los ángulos con vértice en  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza  por que los lados de los ángulos agudos (α y γ)son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

 razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas.

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente

(cateto contiguo o cateto adyacente)

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

supongamos que queremos conocer el angulo de un triangulo rectangulo pero solo conocemos el cateto opuesto que vale 6 cm y la hipotenusa que tiene un valor de 9 lo que debemos hacer es

senA=co/ca

senA= 6/9

A=6/9/sen que es = A= sen-1(6/9) 

como vemos aquí estamos aplicando SENO y como verán no es nada difícil lo mismo se hace con cada función; recuerden que la función a ocupar se escoge de acuerdo a los datos que nos proporciona el problema.

ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

Ángulos verticales
Estos ángulos están contenidos en un plano vertical.
Si se desea realizar alguna observación ya sea de objetos o puntos determinados del espacio, se utiliza dos términos muy comunes: ángulos de elevación y ángulo de depresión. Estos ángulos son formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. La línea de visión une el ojo de un observador con el lugar observado.
Ángulo de elevación
Es el ángulo vertical  (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto o punto observado  se encuentra arriba de la línea horizontal.
Ángulo de depresión
Es el ángulo vertical  (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuan el objeto o punto observado  está debajo de la línea horizontal.

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN DE SOL
como todos sabemos la tierra gira 360º  por tal motivo  el solo solo nos enfoca durante 180º para medir los ángulos de elevación del solo se ocupa un proceso muy sencillo solamente ocupando TANGENTE y un objeto.
primero medimos la altura del objeto, yo en este caso ocupe un palito de 16 cm que va a ser nuestro cateto opuesto,después lo ponemos en un lugar plano y medimos la sombra que produce  en este caso 9.3 cm y ya tenemos aquí el cateto adyacente ahora ocupamos TANGENTE y listo.
ejemplo:
TAN <b = co/ca
TAN <b = 16/9.3
<b = 16/9.3/TAN
<b = TAN-1(16/9.3)
b = 59 º 49´57.74´´

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Las siguientes identidades se cumplen

 para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. 

Estas son identidades recíprocas

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de pitágoras :

Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:

Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solución :

.

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS

INDICE
I.-LOS POLÍGONOS Y SU CLASIFICACIÓN
II.- TEOREMAS DE ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS
III.-LUGARES GEOMÉTRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA
IV.- TEOREMAS DE ÁNGULOS DENTRO Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA
V.-TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES
 


I.- LOS POLÍGONOS Y SU CLASIFICACIÓN
    Un polígono es una  Figura geométrica plana que está limitada por tres o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices.

se clasifican según sus lados y ángulos

según sus lados en regulares e irregulares:

polígonos regulares:

son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales, una característica de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia, tienen todos sus lados y también todos sus ángulos interiores iguales.

polígonos irregulares:

 son aquellos que n cumplen con la condición anterior, es decir que tienen uno o mas angulos desiguales  o que tiene uno o mas lados desiguales

según sus ángulos: 

polígono convexo:

un polígono sera convexo si todos sus ángulos son menores de 180º, por lo tanto si determinamos dos puntos en su interior y los unimos con un segmento este siempre quedara en su interior 

polígono cóncavo:

teorema de ángulos, congruencia/semejanza de triángulos, y teorema de tales y pitágoras

en este blog aprenderás cosas como:

*teoremas de pares de ángulos 

*teoremas de rectas paralelas y una secante

*relación entre los ángulos interiores y exteriores de un triángulo 

*teoremas de congruencia de triángulos

*teoremas de semejanza de triángulos 

*teoremas de tales de mileto

1.1TEOREMAS DE PARES DE ÁNGULOS

existen unas cuantas variedades de pares de ángulos en las cuales hay diversas relaciones desde la igualdad hasta otras propiedades de acuerdo al resultado de su suma.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

 dos ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es igual a 90º, estos no tienen que ser congruentes entre si tan solo basta con que se cumpla la función de que la suma de sus medidas sean 90º

aquí "x" debe ser igual a 56,
ya que 34+56=90

  ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:

Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180º, estos no tienen que ser congruentes simplemente con que sumen 180º basta.

                                                         

aquí por ejemplo 60+120=180º
entonces estos ángulos son suplementarios 

ÁNGULOS ADYACENTES:

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice: 

                                                         

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro 

la linea roja y la azul se interceptan y producen
ángulos apuestos por el vértice 

1.2: TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE:

Teorema directo 

En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que

1. Los ángulos correspondientes son iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios

Teorema inverso

 En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya

1. Un par de ángulos correspondientes iguales, o bien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.

1.3 RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UN TRIANGULO

Un ángulo interior de un triángulo lo forman dos lados.

Sus propiedades son:

 1.-La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C = 180º

 2.-El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = B + C

 3.-Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

α = 180º - A

1.4TEOREMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS:

 Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Lado c con c´
Angulo a con a´
Lado b con b´

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Angulo b
Lado a
Angulo c 

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

lado
lado
lado 

1.5 TEOREMA DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:

• Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes                                                           


• Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.                                                                                                                  
• Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

  Semejanzas de triángulos rectángulos

  Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:
• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.



angulo beta con beta prima
cateto a proporcinal a a´
hipotenusa b proporcional a hipotenusa b´




• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

1.6 TEOREMA DE TALES 

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otrotriángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

     

en la vida cotidiana pareciera que nunca utilizariamos el teorema de tales sin embargo si lo hacemos 

EJEMPLO
Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra.

Escribimos la proporción:

6  = 270

5       h       

(Siendo h la altura del edificio)

Y resolvemos la proporción:

6x = 270 * 5

 x = 1350

           6

x = 225

1.7 TEOREMA DE PITÁGORAS:

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
VEAMOS UNA APLICACION DE ESTE TEOREMA
La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m.  se sabe que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho reglamentario de una mesa de ping-pong.
 los datos:



                       un cateto= 2,74 m
                    hipotenusa= 3,14 m
                    otro cateto= ancho de la mesa, que es nuestra incógnita.

 Si aplicamos el teorema y reemplazamos por los datos será:
   

                                  a² =  b²  +  c²
                              3,14² =  2,74² + x²  →reemplazo y queda una ecuación     
                                9,86 = 7,51 + x²   →elevo al cuadrado
                    9,86 – 7,51 = x²  → despejo  x
                                 2,35  = x²
                             √2,35  = x
                                 1,53 = x            Rta: el ancho debe ser de 1,53 m